三角函数公式推导

Author：爆胎
发布时间：August 7, 2020
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5 comments
4089 words
Categories：学习

这只是闲着没事随便写着玩的，随便看看就行，如有不对还请指教
</div>

---

<h2>1.基本定义</h2>
设角$ \alpha $的终边与单位圆交于点$ P(x,y) $,则有

$$
\tan\alpha\cot\alpha=1.\cos \alpha=x
$$

$$
\tan \alpha =\frac{y}{x} .\cot\alpha=\frac{x}{y}
$$

$$
\sec \alpha=\frac{1}{x} .\csc\alpha=\frac{1}{y}
$$

&nbsp;
<h2>2.同角三角函数基本关系</h2>
由上边的式子可以直接得出以下三个关系式（倒数关系）：

$$
\tan\alpha\cot\alpha=1
$$

$$
\sin\alpha\csc\alpha=1
$$

$$
\cos\alpha\sec\alpha=1
$$

还可以得出如下商的关系：

$$
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tan\alpha=\frac{\sec\alpha}{\csc\alpha} | \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha=\frac{\csc\alpha}{\sec\alpha}
$$

结合勾股定理，我们还可以得到下述平方关系：

$$
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1
$$

这些关系式很简单，就不推导了。

&nbsp;
<h2>3.特殊值</h2>

![](https://img-1259793745.itggg.cn/20201222203734.jpeg)

当这篇文章读完之后，你一定可以推导出上表中任何一个值

&nbsp;
<h2>4.诱导公式</h2>
不推荐大家记这个表，而是希望大家先熟悉一下最基本的三个三角函数<code>（sin、cos和tan）</code>的性质，然后再讨论遇到类似问题如何最快速地推导。

正弦函数是奇函数，最小正周期为$ 2\pi $,其导函数为余弦函数；
余弦函数是偶函数，最小正周期为$ 2\pi $,其导函数为正弦函数的相反数；
正切函数是奇函数，最小正周期为$ \pi $.

[BlurText]诱导公式的目的是什么呢？[/BlurText]
就是将$ \sin(\frac{k\pi}{2}+\alpha) $中 $ \frac{\pi}{2}  $的整数倍去掉，仅保留$ \alpha $.因此我们可以按照上述性质一步步地化简：

**1.** 按照其奇偶性，将$ \alpha $变为负值

**2.** 根据正弦/余弦函数的周期性，将$ 2\pi $的整数倍全部去掉。若此时被加数为负，则再加上$ 2\pi；$

**3.** 若被加的数绝对值仍不小于$ \pi $，就将其绝对值直接减去$ \pi $，然后取负号

**4.** 利用公式$ \sin(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos\alpha $和$ \cos(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin\alpha $得出结果

**举个例子:**  $ \cos(\frac{37\pi}{2} +\alpha) $

**原式** $ =\cos(-\frac{37\pi}{2} -\alpha) $/*将$ \alpha $变为负值*/

=$ \cos(-\frac{\pi}{2} -\alpha) $/*利用周期性加上9个$ 2\pi*/ $

=$ \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)  $/*再加上一个$ 2\pi*/ $

=$ -\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)  $/*减去\pi并加负号*/

=$ -\sin\alpha $

可以看出，按照这个步骤，完全不需要记忆那么多公式，甚至连 **"奇变偶不变，负号看象限"** 都不需要，只要按部就班地做就可以得到正确答案。
而正切函数更简单，因为其最小正周期是$ \pi $,因此最后只有加不加$ \frac{\pi}{2} $的问题。

&nbsp;
<h2>5.基本公式</h2>
下面看一个最基本的公式，这个公式很自然，但是确实下边各个公式推导的基础。

平面上两个单位向量，与x轴正向夹角分别为x和y，则这两个向量分别为$ (\cos x,\sin x),(\cos y,\sin y) $则这两个向量的点积为 $\cos x\cos y+\sin x\sin y $,而点积又可以表示为$ 1*1*\cos(x-y)=\cos(x-y) $,于是我们得到了以下公式：

$$
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y (1)
$$

这就是最基本的公式,从向量的角度,这个公式也是很自然的。

&nbsp;
<h2>6.和差角公式</h2>

将<code>(1)</code>中的y用-y代入，即可得到

$$
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y (2)
$$

将<code>(1)</code>中的$ x $用$ \frac{\pi}{2} -x $代，再利用诱导公式，可以得到正弦函数的和差角公式：
$ \sin(x+y)=\cos y\sin x+\cos x\sin y (3) $

<code>(3)</code>式的$ y $代成$ -y $，有

$ \sin(x-y)=\cos y\sin x-\cos x\sin y (4) $

<code>(3)/(2),(4)/(1)</code> 得到正切函数的和差角公式：

$$
\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} (5)
$$

$$
\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y} (6)
$$

&nbsp;
<h2>7.倍角公式和半角公式</h2>
有了  <code>**"6"**</code>  中的式子，令$ x=y $，很容易得到倍角公式和半角公式：

$$
\sin 2x=2\sin x\cos x (7)
$$

$$
\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x (8)
$$

$$
\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (9)
$$

注意到<code>(8)</code>式

由平方关系又可以写成$ 2\cos^{2}x-1或1-2\sin^{2}x $.所以我们就有半角公式**（也叫降幂公式）**

$$
\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} (10)
$$

$$
\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} (11)
$$

两式相除，得

$$
\tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} (12)
$$

&nbsp;
<h2>8.积化和差和和差化积公式</h2>

回头看看<code>(3)</code>式和<code>(4)</code>式，两式相加得到

$$
\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)] (13)
$$

而相减则得

$$
\cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)] (14)
$$

<code>(1)+(2).(1)-(2)</code>同样可以得到两个积化和差的公式

$$
\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] (15)
$$

$$
\sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos(x-y)-\cos(x+y)] (16)
$$

然后在上式中，令$ u=x+y,v=x-y $.此时$ x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2} $，立刻就得到了四个和差化积公式：

$$
\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (17)
$$

$$
\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (18)
$$

$$
\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (19)
$$

$$
\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (20)
$$

&nbsp;
<h2>9.万能公式</h2>
万能公式是将$ \sin x,\cos x $和$ \tan x $均用$ \tan \frac{x}{2} $表示,由于后者的值域为整个实数区间，因此方便考察许多性质。
首先我们知道,$ \tan x $的万能公式就是其二倍角公式.

<code>(9)</code>式,我们试着推导一下余弦函数的万能公式。

$$
=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}} (21)
$$

正弦的就简单了，两个一乘就行：

$$
\sin x=\cos x\tan x=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (22)
$$

Last modification：May 31, 2022

如果你想请我喝奶茶的话

5 comments

wibus
August 13, 2020

昨天刚学，谁知道就看不懂了

Reply
1. 爆胎
  August 13, 2020
  
  @wibus
  
  感谢提醒
  
  Reply
mli
August 12, 2020

只想说，一头雾水。当数学第一次考了零分之后，我就知道，我这辈子是不行了。

Reply
1. 爆胎
  August 12, 2020
  
  @mli
  
  哈哈，现在不搞算法就不用了，写着玩玩，留着以后教育下一代。
  
  Reply
  1. mli
    August 12, 2020
    
    @爆胎
    
    数学我只能教给他用计算器~~~
    
    Reply

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熊猫不是猫
这个蛮不错的啊
熊猫不是猫
挺不错的博客啊
被窝
大佬导航栏主题色调能分享下嘛
白鹿
是不是欠费的钱不还会影响支付宝信誉什么的
白鹿
哥，字体接口怎么做可以出个教程吗

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三角函数公式推导

爆胎 • 2020 年 08 月 07 日

这只是闲着没事随便写着玩的，随便看看就行，如有不对还请指教
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<h2>1.基本定义</h2>
设角$ \alpha $的终边与单位圆交于点$ P(x,y) $,则有

$$
\tan\alpha\cot\alpha=1.\cos \alpha=x
$$

$$
\tan \alpha =\frac{y}{x} .\cot\alpha=\frac{x}{y}
$$

$$
\sec \alpha=\frac{1}{x} .\csc\alpha=\frac{1}{y}
$$

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<h2>2.同角三角函数基本关系</h2>
由上边的式子可以直接得出以下三个关系式（倒数关系）：

$$
\tan\alpha\cot\alpha=1
$$

$$
\sin\alpha\csc\alpha=1
$$

$$
\cos\alpha\sec\alpha=1
$$

还可以得出如下商的关系：

$$
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tan\alpha=\frac{\sec\alpha}{\csc\alpha} | \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha=\frac{\csc\alpha}{\sec\alpha}
$$

结合勾股定理，我们还可以得到下述平方关系：

$$
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1
$$

这些关系式很简单，就不推导了。

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<h2>3.特殊值</h2>

![](https://img-1259793745.itggg.cn/20201222203734.jpeg)

当这篇文章读完之后，你一定可以推导出上表中任何一个值

**1.** 按照其奇偶性，将$ \alpha $变为负值

**2.** 根据正弦/余弦函数的周期性，将$ 2\pi $的整数倍全部去掉。若此时被加数为负，则再加上$ 2\pi；$

**3.** 若被加的数绝对值仍不小于$ \pi $，就将其绝对值直接减去$ \pi $，然后取负号

**4.** 利用公式$ \sin(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos\alpha $和$ \cos(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin\alpha $得出结果

**举个例子:**  $ \cos(\frac{37\pi}{2} +\alpha) $

**原式** $ =\cos(-\frac{37\pi}{2} -\alpha) $/*将$ \alpha $变为负值*/

=$ \cos(-\frac{\pi}{2} -\alpha) $/*利用周期性加上9个$ 2\pi*/ $

=$ \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)  $/*再加上一个$ 2\pi*/ $

=$ -\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)  $/*减去\pi并加负号*/

=$ -\sin\alpha $

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<h2>5.基本公式</h2>
下面看一个最基本的公式，这个公式很自然，但是确实下边各个公式推导的基础。

$$
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y (1)
$$

这就是最基本的公式,从向量的角度,这个公式也是很自然的。

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<h2>6.和差角公式</h2>

将<code>(1)</code>中的y用-y代入，即可得到

$$
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y (2)
$$

将<code>(1)</code>中的$ x $用$ \frac{\pi}{2} -x $代，再利用诱导公式，可以得到正弦函数的和差角公式：
$ \sin(x+y)=\cos y\sin x+\cos x\sin y (3) $

<code>(3)</code>式的$ y $代成$ -y $，有

$ \sin(x-y)=\cos y\sin x-\cos x\sin y (4) $

<code>(3)/(2),(4)/(1)</code> 得到正切函数的和差角公式：

$$
\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} (5)
$$

$$
\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y} (6)
$$

&nbsp;
<h2>7.倍角公式和半角公式</h2>
有了  <code>**"6"**</code>  中的式子，令$ x=y $，很容易得到倍角公式和半角公式：

$$
\sin 2x=2\sin x\cos x (7)
$$

$$
\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x (8)
$$

$$
\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (9)
$$

注意到<code>(8)</code>式

由平方关系又可以写成$ 2\cos^{2}x-1或1-2\sin^{2}x $.所以我们就有半角公式**（也叫降幂公式）**

$$
\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} (10)
$$

$$
\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} (11)
$$

两式相除，得

$$
\tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} (12)
$$

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<h2>8.积化和差和和差化积公式</h2>

回头看看<code>(3)</code>式和<code>(4)</code>式，两式相加得到

$$
\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)] (13)
$$

而相减则得

$$
\cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)] (14)
$$

<code>(1)+(2).(1)-(2)</code>同样可以得到两个积化和差的公式

$$
\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] (15)
$$

$$
\sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos(x-y)-\cos(x+y)] (16)
$$

然后在上式中，令$ u=x+y,v=x-y $.此时$ x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2} $，立刻就得到了四个和差化积公式：

$$
\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (17)
$$

$$
\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (18)
$$

$$
\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (19)
$$

$$
\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (20)
$$

<code>(9)</code>式,我们试着推导一下余弦函数的万能公式。

$$
=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}} (21)
$$

正弦的就简单了，两个一乘就行：

$$
\sin x=\cos x\tan x=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (22)
$$

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