Loading... <div class="tip inlineBlock warning"> 这只是闲着没事随便写着玩的，随便看看就行，如有不对还请指教 </div> --- <h2>1.基本定义</h2> 设角$ \alpha $的终边与单位圆交于点$ P(x,y) $,则有 $$ \tan\alpha\cot\alpha=1.\cos \alpha=x $$ $$ \tan \alpha =\frac{y}{x} .\cot\alpha=\frac{x}{y} $$ $$ \sec \alpha=\frac{1}{x} .\csc\alpha=\frac{1}{y} $$ <h2>2.同角三角函数基本关系</h2> 由上边的式子可以直接得出以下三个关系式（倒数关系）： $$ \tan\alpha\cot\alpha=1 $$ $$ \sin\alpha\csc\alpha=1 $$ $$ \cos\alpha\sec\alpha=1 $$ 还可以得出如下商的关系： $$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tan\alpha=\frac{\sec\alpha}{\csc\alpha} | \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha=\frac{\csc\alpha}{\sec\alpha} $$ 结合勾股定理，我们还可以得到下述平方关系： $$ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 $$ 这些关系式很简单，就不推导了。 <h2>3.特殊值</h2>  当这篇文章读完之后，你一定可以推导出上表中任何一个值 <h2>4.诱导公式</h2> 不推荐大家记这个表，而是希望大家先熟悉一下最基本的三个三角函数<code>（sin、cos和tan）</code>的性质，然后再讨论遇到类似问题如何最快速地推导。 正弦函数是奇函数，最小正周期为$ 2\pi $,其导函数为余弦函数； 余弦函数是偶函数，最小正周期为$ 2\pi $,其导函数为正弦函数的相反数； 正切函数是奇函数，最小正周期为$ \pi $. [BlurText]诱导公式的目的是什么呢？[/BlurText] 就是将$ \sin(\frac{k\pi}{2}+\alpha) $中 $ \frac{\pi}{2} $的整数倍去掉，仅保留$ \alpha $.因此我们可以按照上述性质一步步地化简： **1.** 按照其奇偶性，将$ \alpha $变为负值 **2.** 根据正弦/余弦函数的周期性，将$ 2\pi $的整数倍全部去掉。若此时被加数为负，则再加上$ 2\pi；$ **3.** 若被加的数绝对值仍不小于$ \pi $，就将其绝对值直接减去$ \pi $，然后取负号 **4.** 利用公式$ \sin(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\cos\alpha $和$ \cos(\frac{\pi}{2} -\alpha)=\sin\alpha $得出结果 **举个例子:** $ \cos(\frac{37\pi}{2} +\alpha) $ **原式** $ =\cos(-\frac{37\pi}{2} -\alpha) $/*将$ \alpha $变为负值*/ =$ \cos(-\frac{\pi}{2} -\alpha) $/*利用周期性加上9个$ 2\pi*/ $ =$ \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha) $/*再加上一个$ 2\pi*/ $ =$ -\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) $/*减去\pi并加负号*/ =$ -\sin\alpha $ 可以看出，按照这个步骤，完全不需要记忆那么多公式，甚至连 **"奇变偶不变，负号看象限"** 都不需要，只要按部就班地做就可以得到正确答案。 而正切函数更简单，因为其最小正周期是$ \pi $,因此最后只有加不加$ \frac{\pi}{2} $的问题。 <h2>5.基本公式</h2> 下面看一个最基本的公式，这个公式很自然，但是确实下边各个公式推导的基础。 平面上两个单位向量，与x轴正向夹角分别为x和y，则这两个向量分别为$ (\cos x,\sin x),(\cos y,\sin y) $则这两个向量的点积为 $\cos x\cos y+\sin x\sin y $,而点积又可以表示为$ 1*1*\cos(x-y)=\cos(x-y) $,于是我们得到了以下公式： $$ \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y (1) $$ 这就是最基本的公式,从向量的角度,这个公式也是很自然的。 <h2>6.和差角公式</h2> 将<code>(1)</code>中的y用-y代入，即可得到 $$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y (2) $$ 将<code>(1)</code>中的$ x $用$ \frac{\pi}{2} -x $代，再利用诱导公式，可以得到正弦函数的和差角公式： $ \sin(x+y)=\cos y\sin x+\cos x\sin y (3) $ <code>(3)</code>式的$ y $代成$ -y $，有 $ \sin(x-y)=\cos y\sin x-\cos x\sin y (4) $ <code>(3)/(2),(4)/(1)</code> 得到正切函数的和差角公式： $$ \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} (5) $$ $$ \tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y} (6) $$ <h2>7.倍角公式和半角公式</h2> 有了 <code>**"6"**</code> 中的式子，令$ x=y $，很容易得到倍角公式和半角公式： $$ \sin 2x=2\sin x\cos x (7) $$ $$ \cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x (8) $$ $$ \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (9) $$ 注意到<code>(8)</code>式 由平方关系又可以写成$ 2\cos^{2}x-1或1-2\sin^{2}x $.所以我们就有半角公式**（也叫降幂公式）** $$ \sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} (10) $$ $$ \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} (11) $$ 两式相除，得 $$ \tan^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} (12) $$ <h2>8.积化和差和和差化积公式</h2> 回头看看<code>(3)</code>式和<code>(4)</code>式，两式相加得到 $$ \sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)] (13) $$ 而相减则得 $$ \cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)] (14) $$ <code>(1)+(2).(1)-(2)</code>同样可以得到两个积化和差的公式 $$ \cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)] (15) $$ $$ \sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos(x-y)-\cos(x+y)] (16) $$ 然后在上式中，令$ u=x+y,v=x-y $.此时$ x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2} $，立刻就得到了四个和差化积公式： $$ \sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (17) $$ $$ \sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (18) $$ $$ \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2} (19) $$ $$ \cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2} (20) $$ <h2>9.万能公式</h2> 万能公式是将$ \sin x,\cos x $和$ \tan x $均用$ \tan \frac{x}{2} $表示,由于后者的值域为整个实数区间，因此方便考察许多性质。 首先我们知道,$ \tan x $的万能公式就是其二倍角公式. <code>(9)</code>式,我们试着推导一下余弦函数的万能公式。 $$ =\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}} (21) $$ 正弦的就简单了，两个一乘就行： $$ \sin x=\cos x\tan x=\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x} (22) $$ Last modification：March 10th, 2021 at 10:10 am © 允许付费转载 Support 如果你想请我喝奶茶的话 ×Close Appreciate the author Sweeping payments Pay by AliPay Pay by WeChat
5 comments
昨天刚学，谁知道就看不懂了
感谢提醒
只想说，一头雾水。当数学第一次考了零分之后，我就知道，我这辈子是不行了。
哈哈，现在不搞算法就不用了，写着玩玩，留着以后教育下一代。
数学我只能教给他用计算器~~~